博客园_magicdlf's blog

SRM 518 解题报告

2011-11-08T15:39:00Z

这是一篇后来补上的报告，比赛没参加，没有故事好讲。

250pt: 定义将一个串删除一些字母后得到的串为其子串，问给定一个串，求其所有的子串中的最大字典序子串。比如test的最大字典序子串为tt。

由于是求字典序最大的子串，第一个字母肯定是该串中所有字母中最大的那个。然后在剩下的子串里，继续求最大字典序子串。就是这么个一路贪心下去的算法。

500pt: 有一个序列x0,x2…xn-1，如果满足对所有的1<=i<=n-2，有x[i-1]+x[i+1]>=2*x[i]，则称这个序列是凸的。现在给定一个序列a，可以用一个操作使a[i]--，问一共需要多少可操作才能把序列a变成一个凸序列？

观察这个序列，如果把相邻点之间的差值算出来，这个差值的序列肯定是一路递增的（可以相等）。然后可以发现这样的序列肯定会有一个最低点，然后把最低点和其他所有点连线，这个连线不能和原来的函数曲线有交点。也就是说，如果把这个序列的任意两点连起来，在这两点中间的所有点，必须低于这两点的连线。于是就有了一个很暴力的解法，枚举所有的非相邻点对，检验两点间的所有点是不是高过这两点的连线，如果有就裁掉。重复以上过程一直到没有点被裁掉为止。

1000pt: 待补上。

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SRM 522 解题报告

2011-11-08T15:34:00Z

早起起来赶TC，工作日早上9点的这场SRM是最容易睡过头的。注册时发现panda教主已经注册了，Petr还没来。但事实的情况是比赛开始时Petr来了，panda教主迟到。

打开题目发现是250和450，预感过500pt的机会来了。果然生平第二次过了SRM的500pt，尽管是一道简单的。总的来说两道题都是想的成份比较多，实现相对简单，今天一共就写了十几行代码就完事了。由于RP大爆发，取得了前所未有的21名的排位，rating也顺势涨到了1888，创出历史新高，还顺带赢了panda教主一场。话说neal_wu非常神奇，coding phase结束的时候，我领先了他225分，但是在challenge phase他大杀四方，连cha成功6个，并且这是本房间有且仅有的六个错误提交，于是我只能眼看着大好局势拱手让人。

流水账毕，以下是详细的题解：

250pt: 转换一下题意，大致是：有n个(2<=n<=14)被涂成A或B的格子，Alice和Bob每次轮流从这些格子里面拿走连续的一些格子（但是不能拿走所有的格子）。最后剩下的格子如果是A，那么Alice就获胜了，反之Bob获胜。每次都是Alice先行动，问给定初始状态，在理想情况下，谁能获取游戏的胜利。

首先思考初始情况，很显然，如果第一个字母是A的话，Alice必胜，因为她可以把剩下的字符串都拿掉，只留下A。同理，如果最后一个字母是A的话，也是Alice胜。于是，只有当两端字母同时都是B时，才能轮到Bob行动。在这种情况下，Alice有两种策略，1是拿走一端的B以及和它连着的若干个其他字符，如此，Bob下次行动时只要拿走剩余的所有字符，留下另一端的B即可获胜。2是Alice不动两端的B，在中间截取一段。如此，局面会变成类似于BXXX___XXXXB (也可能没有X)。Bob的策略也很简单，把其中的一段XXX拿走，剩下一个端点B。接下来如果Alice拿走单个B，Bob就获胜，如果Alice在右边那串里拿，Bob只要想办法尽快把那串拿完就能获胜（如果Alice试图把右边的串分成两段，Bob就拿走两段中的一段，直到剩下的串拿完为止）。于是，程序只有两行：

if(cells[0]==’A’ || cells[cells.size()-1]==’A’) return “Alice”;

else return “Bob”;

450pt: 给你一个错误的等式a*b=c (a,b,c都为1 – 10^9的正整数)，将其修正为正确的等式A+B=C，使得 | A-a | + | B-b | + | C-c | 最小。求出这个最小值。

如果做过上海赛区hl大神的A题，看到这题的时候一定会觉得很熟悉吧。a,b,c的范围都大到吓人，直接枚举肯定会挂掉。所以此题肯定是要用某一种trick，将10^9的问题简化为复杂度更小的问题。

首先来看要枚举的变量，假定我们通过枚举确定了A，这时，随着B的变化，我们的diff = | A-a | + | B-b | + | C-c | 有且仅有一个极小值，而且这个极小时会出现在C接近于c的地方。所以我们只须试验B=c/A和B=c/A+1这两个值就可以算出当前A的最小diff值了。现在我们有了一个O(10^9)的算法，即枚举A=1…10^9，通过上述办法计算最小的diff值。前面提到的上海赛区的A題的技巧就在这里出现了：由于A*B = C，事实上A和B里面总有一个是小于等于sqrt(C)的，只需要枚举小的那个数就可以了，这样复杂度就降低为O(sqrt(10^9))了。实现的话，首先看a和b的大小，如果a>b的话就swap一下。枚举的时候暴力一点，直接枚举1到40000而不要去计算sqrt(c)会避免很多麻烦，还有所有的计算结果用long long来保存以避免乘法的时候溢出，应该就可以过了。

1000pt: 不会 >.< 以后补上

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SRM 521 解题报告

2011-11-08T14:19:00Z

听说这一轮是TCO的备用题，所以潘达教主悲剧地不能参加了。戴牛展现出了惊人的实力，勇夺第八，rating暴涨。250pt是一个很水的贪心题，500pt是一个有一些trick的暴力题，但是由于一些细节的原因，比赛的时候没有做出来。

以下是详细的报告：

250pt: 给定一个string，包括一串未匹配的括号对()，问要将这些括号匹配至少需要添加多少个括号。括号匹配类问题里最简单的一个问题了。假设在某个位置出现了一个右括号’)’而之前没有足够的左括号，则需要在它之前添加一个左括号，位置不限。假设以上条件满足，在串结束的时候发现左括号数比右括号数多（包括添加的左括号），则需要补全相应的右括号。算法就是基于以上两条原则进行贪心，用left和right变量来统计当前的左括号数和右括号数，视情况添加括号即可。

500pt: 在平面上有最多40个点，现在用一个大小范围在nlow和nhigh之间正方形去选取这些点，每一次选取可以不同的点集。问一共有多少个这样的点集。点坐标的范围-10e8到10e8，nlow和nhigh的范围1到10e8。这一题比较阴险的一个地方在于，如果要枚举所有的点集，那么一共会有2^40个不同的点集，而函数的返回值也暗示了这一点，而事实上可能的组合大约只有(2n)^2种，这一点可以由一维的情况推广而知。假设在一维的轴上有若干个点，用一个矩形去选取不同的点的集合，我们发现，能选取到的只有连续的点集，推广到二维上亦是如此。将所有的点离散化后，我们得到一个N*N的矩阵，我们枚举这些矩阵，使其满足边长大于等于nlow并且小于等于nhigh、且可以构成正方形。将这样的正方形能选取的点集存入一个set，最后只需要统计set内元素的个数即可了。算法的复杂度O(40^4)。

1000pt: 用1*2的砖块堆一个烟囱，每一层用四块砖，每块砖必须放在两块砖的结合处之上。问要砌一个n (n<10e18)的烟囱，有多少种不同的砌砖顺序。枚举每一层可能出现的砖块排列情况作为dp的状态，手算推出状态间转移的方程，得到一个O(N)的算法。然后用矩阵乘的性质，对这个算法进行加速，类似于快速幂乘法的原理。具体的推算过程请见官方editorial:

http://apps.topcoder.com/wiki/display/tc/SRM+521

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