博客园_fish的小屋

所谓“中国学生数学NB”的神话

2010-11-16T09:00:00Z

http://www.douban.com/group/topic/15640376/

说道我心里去了

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有关Lemek's algo中，除了Initial Ray外Second Ray是不可能出现（W0，W1，W2，。。。Z0均严格>0）的证明

2010-08-05T14:57:00Z

感觉Murty的书里讲的不清楚，我自己整理了遍自己的证明

1。首先当Ax=b（A mxn）不是Degenerate的情况下（即b不可能由任意<m个的列向量表示出来的情况下）使用Lemke Law是不会出Basis Cycling的情况的。

证明：如果一个出现了Cycling的情况意味，对于某个Basis它可以由3个不同的Basis分别通过Enter一个Variable来达到，例如对于W0,Z0,W1,Z1,W2,Z2,W3,Z3,

假设它的某个Almost Complementary Feasible Basis：（Y0，Y1，Y2，Z0）可以由

1.（Y0，Y2，Y3，Z0）-> (Y1 Enter,Y3 Leave)

2.（Y1，Y2，Y3，Z0）-> (Y0 Enter,Y3 Leave)

3.（Y0，Y1，Y3，Z0）-> (Y2 Enter,Y3 Leave)

这3种情况到达，那么显然3种情况下Y3都是Drop Variable而Y3 = （W3，Z3）其中的一个。显然上述式子中至少有2个的Y3是相同的，也就是至少有2个Y3都等于Z3或者都等于W3

以W3为例，假设：

1.（Y0，Y2，W3，Z0）-> (Y1 Enter,Y3 Leave)

2.（Y1，Y2，W3，Z0）-> (Y0 Enter,Y3 Leave)

显而易见（Y0，Y1，Y2，Z0）也可以通过

1.（Y0，Y1，Y2，Z0）-> (W3 Enter,Y3 Leave) 到达（Y0，Y2，W3，Z0）

2.（Y0，Y1，Y2，Z0）-> (W3 Enter,Y0 Leave) 到达（Y1，Y2，W3，Z0）

也就是说W3进入后，Basis（Y0，Y1，Y2，Z0）即可以选择Y3作为Drop Variable

又可以选择Y0做为Drop Variable来变为林外一个 Almost Complementary Feasible Basis

这意味着什么？意味着W3所对应的列向量中的第0 和第3行的Minimum Ration是相同的，也就是

b0/a03 = b3/a33。这就意味着从Y0，Y1，Y2，Z0 到 Y0，Y2，W3，Z0或者Y1，Y2，W3，Z0的Pivot步骤被执行后

要么Y0对应的Basic Variable = 0 要么Y3对应的Basic Variable = 0 这就和非Degenerate的情况产生矛盾！

因此：结论1

Ax=b（A mxn）不是Degenerate的情况下（即b不可能由任意<m个的列向量表示出来的情况下）使用Lemke Law是不会出Basis Cycling

结论2

使用 Lexico Minimum ration来选择Drop Variable的情况下出现的Second Ray 是不会等于Initial Ray的，守先Murty书中说了当Ax=b是Degenerate的情况下可以通过给向量b一个扰动一就是存在一个足够小的数e0,对于任何e<e0 令E = (e,e^2,e^3...e^m) Ax=b+E是非Degenerate的，然后只要按照使用 Lexico Minimum ration来选择Drop Variable那么得出的Basis一定是Lexico feasible的（也就是一定存在足够小的e0 对任意e<e0 E = (e,e^2,e^3...e^m) ，Ax=b+E是Feasible的）。综合上面两条可得一定存在足够小的e0,对于任意e<e0 E = (e,e^2,e^3...e^m) ,我们对原系统Ax=b使用Lemke方法的时候系统:

1.Ax=b+E是非Degenerate的

2.Ax=b+E也进行着同样序列的Basis转换并且每次转换的Basis都是Feasible的（对应的变量均>=0）

接下来证明对于一个非Degenerate的系统Ax=b

因为它的初始BASIS是（w0,w1,w2,Wi-1,z0,Wi...Wm）

那么在使用Lemke的过程中他的Basis是不会变为（W0，W1，W2...Wj-1,z0,Wj...Wm）（i 不等于j）的

太累了明天继续写

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Physics Engine V0.4

2010-07-24T06:48:00Z

Physics Engine V0.4

New Feature Self-Collision

Fully Cloth-Softbody Interaction

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Soft-Rigid-Vehicle Demo all in one

2010-07-17T17:11:00Z

Tetra soft Body & Soft Cloth & Rigid Body & Ray cast Vehicle

Demo:

http://files.cnblogs.com/fishboy82/SoftRigidDemo.rar

方向键控制小车和其他物体交互

ASWD控制摄像机，空格键升高摄像机，Ctrl键降低摄像机，鼠标左键旋转摄像机

按小键盘1启动模拟

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体积网格生成浏览器

2010-07-10T17:01:00Z

体积网格生成算法，支持Multi Resolution,前3张图分别是3个Resolution层次从细-〉粗，最后一张是切面图。

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自动生成TetraMesh的算法写好了不错，可以支持Multi Resolution

2010-07-01T13:41:00Z

图上是用自己的算法生成的Bunny兔的tetrahedron网格，以及模拟效果图。

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基于tetrahedron的柔体

2010-06-20T05:46:00Z

现在把柔体改为基于tetrahedron的Volmue preserve的模拟方法了，效果不错，碰撞检测目前支持tetra-conve,node-convex(刚-柔)tetra- Node，Face-Node（柔-柔），只是目前需要一种从表面网格生成为Tetrahedron Mesh的工具，试了几种都不好用，Tetgen，Netgen这2种都只适合工程计算，而且也不够强壮，最终决定自己写一个生成算法

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Shape Match 的方法效果极差气死我了

2010-05-30T12:39:00Z

Rt，真让人失望，还是使用基于Tetrahydron的方法把nnd

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My Physics Engine V0.1

2010-05-10T15:06:00Z

Feature:

Collision Detection 碰撞检测(Narrow Phase：凸包Vs凸包，凸包Vs组合体，Concave Mesh Vs凸包，Box-Box etc ，Broad Phase:静态AABBtree，Sweep And Prun,动态AABB tree,Space Sparse Hash)

Rigid Body Simulation 刚体模拟

Fluid Simulation 流体模拟

Softbody Simulation 柔体模拟

Vehicle Simulation 车辆模拟

Interact between Rigid & Fluid 刚体-流体交互

Interact between Rigid & SoftBody 刚体-柔体交互

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共轭梯度(Conjugate gradient)

2010-05-02T06:19:00Z

http://class.htu.cn/nla/chat5/sect5_1.htm 最速下降

http://class.htu.cn/nla/chat5/sect5_2.htm 共轭梯度

介绍和证明都很详细易懂，先收藏了，没时间仔细看粗略看了下。

最速下降法，是从一个正定对称阵构造出一个2次型多项式，求解多项式的最小值出的X值，来得到方程解，所谓最速下降就是给定X0，从该点寻找一个满足一定条件的下降方向和步长，重复执行这个步骤，直到解出为止。

共轭梯度是上述方法改进不在按照2次多项式的梯度方向作为下降方向，而是构造出一系列对于矩阵A共轭的向量。

我还没想明白，既然共轭梯度法已经不使用梯度方向作为下降方向为什么它还要叫共轭"梯度"。。。。

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所谓“中国学生数学NB”的神话

有关Lemek's algo中，除了Initial Ray外Second Ray是不可能出现（W0，W1，W2，。。。Z0均严格>0）的证明

Physics Engine V0.4

Soft-Rigid-Vehicle Demo all in one

体积网格生成浏览器

自动生成TetraMesh的算法写好了不错，可以支持Multi Resolution

基于tetrahedron的柔体

Shape Match 的方法效果极差 气死我了

My Physics Engine V0.1

共轭梯度(Conjugate gradient)

Shape Match 的方法效果极差气死我了